再談班佛定律 - 台股股價第一位是 1 比例最高是因為面值 10 元？

2025-05-25 06:44 PM

故事從這則貼文開始：

依直覺，台股上市公司股價的第一位數字，1 到 9 的出現次數應該是平均分佈吧？

事實不然，依據「班佛定律」，舉凡人口、土地面積、河川長度，乃至影片文章的點閱數，這些自然形成的數字，只要筆數夠多，統計下來 1 開頭的機率多半超過 30%，其次是 2 的17.6%，一路到 9 下滑。

用 5/13 台股上市公司收盤價統計用程式驗證，得到的數字神奇地貼合定律的 30.1% 17.6%：

1: 417 (32.65%)
2: 240 (18.79%)
3: 143 (11.20%)
4: 112 (8.77%)
5: 102 (7.99%)
6: 71 (5.56%)
7: 76 (5.95%)
8: 56 (4.39%)
9: 60 (4.70%)

班佛定律最為人津津樂道的應用是被拿來抓做假帳、選舉舞弊，因為手工編造的數字往往會偏離班佛定律分配。故做為一個重視科學精神的人，大家下回假造時記得要用程式調一下，讓結果符合班佛定律才不會被抓哦~ (大誤)

==== 我是分隔線 ====

班佛定律之所以成立，背後的原因是人口、河川、股價、投票數、點閱量... 等這類透過成長累積而成的隨機數字，很多都會呈現「對數常態分佈」，關於「我們的世界其實是對數世界」的真相，強力推薦畢導的這部影片：

这个定律，预言了你的人生进度条！

留言裡有幾則聽起來有點道理的說法：

因為股票面額 10 元，單位決定容易產生 1 開頭的尺度。
因為台股大部分都十幾塊？

但依據班佛定律，數字以 1 起首與單位無關，就像土地面積，由平方公里改成平方英里，1 照樣是 30%! 是不是感覺很玄？就用實驗來驗證吧!

我寫了一個網頁，一樣是統計某一天台股各檔上市股票收盤價的第一位非零數字，以 1 開始佔 33%、2 佔 18.7%。(註：長條圖是用昨天介紹的 D3.js繪製的，若你對程式寫法有興趣，原始碼在這裡)

網頁有個倍率換算功能，允許輸入倍率數字將所有收盤價乘上此倍率得到換算值，再統計換算值的第一位數字。換言之，若乘 37，10 元會變成 370，原本十幾元的股票會變成 37 到 73 元之間，但神奇的是，乘完 1 還是最多，佔 29%：

改乘 0.07，1 還是拔得頭籌，以 33.6% 多出 2 近一倍：

所以，1 最多的原因與單股面額或計價幣別無關，而是因為股價屬於「長尾分佈」。

數學科普頻道「漫士沉思录」這幾天有部新影片延續畢導「世界是對數的」議題，再從數學角度對此做了深入解析，看完讓我有茅塞頓開的感覺。後面會整理我理解的影片重點，有興趣更深入了解朋友，推薦直接看影片：

世界是对数的……吗？为什么？

首先，說「世界是對數的」不完全正確，數字分佈可分為常態分佈跟長尾分佈，只有長尾分佈符合對數特性及班佛定律。

常態分佈的經典例子像是身高、體重、氣溫，具有中間值最多(中央極限定理)，向兩端延伸數量會急速下降的特性。以身高為例，比 150 公分再高 30 公分的可能性，遠遠大於 220 公分再高 30 公分的機率。

長尾分佈則如人口、所得、土地面積、河川長度、點閱數... 等適用合班佛定律的例子，呈現 80/20 分配是其一大特色。一個有 50 萬存款的人，再增加成 100 萬的機率不高，但億萬富翁要增加 50 萬存款，應該多呼吸幾次就能達標。

常態分佈與長尾分佈存在一個關鍵差異，前者增加多靠加法累積，而後者則靠乘法。身高、體重要一公分一公斤增加，是不折不扣的加法；而人口成長看出生率、財富累積錢滾錢看利率或投資報酬率、粉絲數愈多轉發機率愈高訂閱數增加愈快，每一項都基於乘法。

至此可以得到粗略結論：基於乘法形成的數字，通常就會呈現長尾分佈，符合班佛定律!

將長尾分布數字進行 Log 計算，會轉成常態分佈。如下圖，各圖人口數量統計原本高度集中於左側，呈現長尾分佈，下方的圖是轉 Log 10 後的結果(單位為萬人)，中央最多兩側較少，接近常態分佈。而在對數 X 座標軸，1 到 9 刻度的寬度並不相等，紅色區域為 1 的範圍，佔掉總寬度近 1/3。人口數從 0 到 10⁶ 都有，佔有近 1/3 的 1 自然成為第一位出現機率最高的數字，且其比例接近 30%。